$A=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ とする. また, 自然数 $n$ に対して, \begin{equation*} \begin{split} a_n &= \frac{1}{2}\bigl((a+b\sqrt{-1})^n+(a-b\sqrt{-1})^n \bigr), \\ b_n &= -\frac{\sqrt{-1}}{2}\bigl( (a+b\sqrt{-1})^n-(a-b\sqrt{-1})^n \bigr) \end{split} \end{equation*} とおく. このとき, \begin{equation} A^n=\begin{pmatrix} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{pmatrix} \tag{$*$} \end{equation} であることを証明せよ.
解答例 1
$n$ に関する数学的帰納法により証明する.
$n=1$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} a_1&=\frac{1}{2}\bigl( (a+b\sqrt{-1})+(a-b\sqrt{-1}) \bigr) = a, \\ b_1&=-\frac{\sqrt{-1}}{2}\bigl( (a+b\sqrt{-1})-(a-b\sqrt{-1}) \bigr) = b \end{split} \end{equation*} となるから, ($*$) は成り立つ.
一般に, $n=k$ のとき ($*$) が成り立つと仮定すると, \begin{equation*} \begin{split} a_{k+1}&= a_ka-b_kb, \\ b_{k+1}&= b_ka+a_kb \end{split} \end{equation*} であるから, \begin{equation*} \begin{split} A^{k+1} &=A^kA \\ &=\begin{pmatrix} a_k & -b_k \\ b_k & a_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_ka-b_kb & -a_kb-b_ka \\ b_ka+a_kb & -b_kb+a_ka \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_{k+1} & -b_{k+1} \\ b_{k+1} & a_{k+1} \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} したがって, $n=k+1$ のときも ($*$) が成り立つ.
以上より, すべての自然数 $n$ に対して ($*$) が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日