解答例 1

$n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$n=1$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} &(a+b)^1+(a-b)^1 = (a+b)+(a-b) = 2a \\ &(a+b)^1-(a-b)^1 = (a+b)-(a-b) = 2b \end{split} \end{equation*} となるから, ($*$) は成り立つ.

$n=k$ のとき, ($*$) が成り立つと仮定すると, \begin{equation*} \begin{split} A^{k+1} &= A^kA \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (a+b)^k+(a-b)^k & (a+b)^k-(a-b)^k \\ (a+b)^k-(a-b)^k & (a+b)^k+(a-b)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} \bigl((a+b)^k+(a-b)^k \bigr)a + \bigl((a+b)^k-(a-b)^k \bigr)b \\ \bigl((a+b)^k+(a-b)^k \bigr)a + \bigl((a+b)^k-(a-b)^k \bigr)b \end{matrix} \right. \\ &\qquad\qquad\left. \begin{matrix} \bigl((a+b)^k-(a-b)^k \bigr)b + \bigl((a+b)^k+(a-b)^k \bigr)a \\ \bigl((a+b)^k-(a-b)^k \bigr)b + \bigl((a+b)^k+(a-b)^k \bigr)a \end{matrix}\right) \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (a+b)^{k+1}+(a-b)^{k+1} & (a+b)^{k+1}-(a-b)^{k+1} \\ (a+b)^{k+1}-(a-b)^{k+1} & (a+b)^{k+1}+(a-b)^{k+1} \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} よって, $n=k+1$ のときも ($*$) は成り立つ.

以上より, すべての自然数 $n$ に対して ($*$) が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日