$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$とおく. $2$ 次正方行列 $B$ が $AB=BA$ を満たすとき, $B$ は対角行列であることを証明せよ.
解答例 1
$B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると, \begin{equation*} \begin{split} AB &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ BA &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} $AB=BA$ であるから, $$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \quad\mbox{ゆえに}\quad b=c=0. $$ したがって, $B=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$.
最終更新日：2011年11月02日