関数列 $(f_n(s))$ を $f_n(s) = 1/n^{s}$ とおくことによって定める. このとき, 任意の実数 $\delta>0$ に対して, 関数項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(s)$ は 区間 $[1+\delta, \infty)$ 上で一様収束することを証明せよ.
解答例 1
$\delta$ を正の実数とする. $I_{\delta}=[1+\delta, \infty)$ とおく. また, $M_n = 1/n^{1+\delta}$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) とおく. 任意の $s\in I_{\delta}$ に対して, $$ 0\leq \frac{1}{n^{s}}\leq \frac{1}{n^{1+\delta}}\quad (n=1, 2, \ldots). $$ すなわち, $$ \lvert f_n(s)\rvert \leq M_n\quad (n=1, 2, \ldots). $$ 一方, $1+\delta>1$ より, 級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ は収束する. Weierstrass の判定法により, 関数項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(s)$ は 区間 $I$ 上で一様収束する.
最終更新日：2011年11月02日