Riemann のゼータ関数 $$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\quad (s>1) $$ は区間 $(1, \infty)$ で微分可能であり, $$ \frac{d}{ds}\zeta(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^s} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$I=(1, \infty)$ とおく. また, $f_n(s) = 1/n^s$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) とおく. 任意の $s\in I$ に対して, 関数項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(s)$ は収束する.
各番号 $n$ について, $f_n(s)$ を微分すると, $$ f_n'(s) = \frac{d}{ds}f_n(s) = \frac{1}{n}\log\frac{1}{n} = -\frac{\log n}{n^s}. $$ いま, 実数 $\delta>0$ を任意にとる. $I_{\delta}=[1+\delta, \infty)$ とおく. また, $$ M_n = \frac{\log{n}}{n^{1+\delta}}\quad (n=1, 2, \ldots) $$ とおく. 任意の $s\in I_{\delta}$ に対して, $$ \lvert f_n'(s)\rvert \leq M_n\quad (n=1, 2, \ldots). $$ 一方, $1+\delta>1$ より, 級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ は収束する. Weierstrass の判定法により, 関数項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(s)$ は 区間 $I_{\delta}$ 上で一様収束する. $\delta$ は任意だったから, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(s)$ は $I$ 上で広義一様収束する. したがって, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n(s)$ は $I$ で項別微分可能となり, $$ \frac{d}{ds}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(s) = \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(s) $$ が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日