[q201107051515]  $a$, $b$, $k$ を実数とし, $a<b$ とする. このとき, $$ \int_a^b(b-x)^k\,dx = \int_a^b(x-a)^k\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(b-a)^{k+1}}{k+1}, & \mbox{$k>-1$} \\ \infty, & \mbox{$k\leq -1$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107051530]  $a$, $k$ を実数とするとき, $$ \int_a^{\infty} e^{kx}\,dx = \begin{cases} \displaystyle -\frac{e^{ka}}{k}, & \mbox{$k<0$} \\ \infty, & \mbox{$k\geq 0$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107051545]  $a$, $k$ を実数とするとき, $$ \int_{-\infty}^a e^{kx}\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{ka}}{k}, & \mbox{$k>0$} \\ \infty, & \mbox{$k\leq 0$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107051230]  広義積分 $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\,dx $$ は $s>0$ のとき収束することを証明せよ.

Keywords: Gamma 関数, ガンマ関数

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[q201107051245]  $p$, $q$ を正の実数とするとき, 広義積分 $$ B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx $$ は収束することを証明せよ.

Keywords: Beta 関数, ベータ関数

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