解答例 1

$f(x) = e^{-x}x^{s-1}$ とおく. $f(x)$ は $(0, \infty)$ で連続かつ正である. $s>0$ のとき, $$ \lim_{x\to\infty} x^2 f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{s+1}}{e^x} = 0 $$ であるから, ある実数 $c>0$ が存在して, $x>c$ なる任意の実数 $x$ に対して, $$ x^2f(x) < 1,\quad\mbox{ゆえに},\quad f(x)<\frac{1}{x^2}. $$ $\displaystyle \int_c^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$ は収束する. 実際, $$ \int_c^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_c^{\infty} = \frac{1}{c}. $$ ゆえに, $\displaystyle \int_c^{\infty} f(x)\,dx$ も収束する.

また, $x>0$ のとき, $$ f(x) = e^{-x}x^{s-1} < x^{s-1}. $$ $\displaystyle\int_0^c x^{s-1}\,dx$ は $s>0$ のとき収束する. 実際, $$ \int_0^c x^{s-1}\,dx = \left[ \frac{x^s}{s} \right]_0^c = \frac{c^s}{s}. $$ ゆえに, $\displaystyle \int_0^c f(x)\,dx$ も収束する.

したがって, $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty}f(x)\,dx = \int_0^c f(x)\,dx + \int_c^{\infty}f(x)\,dx $$ は $s>0$ のとき収束する.

最終更新日：2011年11月02日