解答例 1

関数 $(b-x)^k$ は区間 $[a, b)$ で連続である.

$k\neq -1$ のとき, \begin{align*} \int_a^b(b-x)^k\,dx &= \lim_{t\to b-0} \int_a^t(b-x)^k\,dx = \lim_{t\to b-0}\left[ -\frac{(b-x)^{k+1}}{k+1} \right]_a^t \\ &= \lim_{t\to b-0}\left( -\frac{(b-t)^{k+1}}{k+1} + \frac{(b-a)^{k+1}}{k+1} \right) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \frac{(b-a)^{k+1}}{k+1}, & \mbox{$k>-1$} \\ \infty, & \mbox{$k<-1$}. \end{cases} \end{align*}

$k=-1$ のとき, \begin{align*} \int_a^b(b-x)^k\,dx &= \lim_{t\to b-0} \int_a^t(b-x)^{-1}\,dx = \lim_{t\to b-0}\left[-\log (b-x)\right]_a^t \\ &= \lim_{t\to b-0}\bigl( -\log(b-t) + \log(b-a) \bigr) = \infty. \end{align*}

$\displaystyle \int_a^b(x-a)^k\,dx$ についても同様に計算できる.

最終更新日：2011年11月02日