解答例 1

$f(x)=x^{p-1}(1-x)^{q-1}$ とおく. $f(x)$ は開区間 $(0, 1)$ で連続である. $$ \lim_{x\to +0} f(x)x^{1-p} = \lim_{x\to +0}(1-x)^{q-1} = 1 $$ であるから, ある $\delta\in (0, 1)$ が存在して, 任意の $x\in (0, \delta)$ に対して, $$ \lvert f(x)x^{1-p} - 1\rvert < 1. $$ すなわち, $$ -1 < f(x)x^{1-p} - 1 < 1. $$ ゆえに, $$ 0 < f(x) < 2x^{p-1}. $$ $\displaystyle\int_0^{\delta}x^{p-1}\,dx$ は $p>0$ のとき収束する. 実際, $$ \int_0^{\delta}x^{p-1}\,dx = \left[ \frac{x^p}{p} \right]_0^{\delta} = \frac{\delta^p}{p}. $$ ゆえに, $\displaystyle \int_0^{\delta}f(x)\,dx$ も収束する.

また, $$ \lim_{x\to 1-0} f(x)(1-x)^{1-q} = \lim_{x\to 1-0}x^{p-1} = 1 $$ であるから, ある $\delta'\in (0, 1)$ が存在して, 任意の $x\in (1-\delta', 1)$ に対して, $$ \lvert f(x)(1-x)^{1-q} - 1\rvert < 1. $$ すなわち, $$ -1 < f(x)(1-x)^{1-q} - 1 < 1. $$ ゆえに, $$ 0 < f(x) < 2(1-x)^{q-1}. $$ $\displaystyle\int_{\delta'}^1(1-x)^{q-1}\,dx$ は $q>0$ のとき収束する. 実際, $$ \int_{\delta'}^1(1-x)^{q-1}\,dx = \left[ -\frac{(1-x)^q}{q} \right]_{\delta'}^1 = \frac{(1-\delta')^q}{q}. $$ ゆえに, $\displaystyle \int_{\delta'}^1f(x)\,dx$ も収束する.

したがって, $$ B(p, q) = \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^{\delta}f(x)\,dx + \int_{\delta}^{\delta'}f(x)\,dx + \int_{\delta'}^1f(x)\,dx $$ は $p>0$, $q>0$ のとき収束する.

最終更新日：2011年11月02日