$a$, $k$ を実数とするとき, $$ \int_a^{\infty} e^{kx}\,dx = \begin{cases} \displaystyle -\frac{e^{ka}}{k}, & \mbox{$k<0$} \\ \infty, & \mbox{$k\geq 0$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
関数 $e^{kx}$ は区間 $[a, \infty)$ で連続である.
$k\neq 0$ のとき, \begin{align*} \int_a^{\infty}e^{kx}\,dx &= \lim_{t\to \infty} \int_a^te^{kx}\,dx = \lim_{t\to \infty}\left[ \frac{e^{kx}}{k} \right]_a^t \\ &= \lim_{t\to \infty}\left( \frac{e^{kt}}{k} - \frac{e^{ka}}{k} \right) \\ &= \begin{cases} \displaystyle -\frac{e^{ka}}{k}, & \mbox{$k<0$} \\ \infty, & \mbox{$k>0$}. \end{cases} \end{align*}
$k=0$ のとき, $$ \int_a^{\infty}e^{kx}\,dx = \lim_{t\to \infty} \int_a^t\,dx = \lim_{t\to \infty} (t-a) = \infty. $$
最終更新日：2011年11月02日