解答例 1

関数 $e^{kx}$ は区間 $(-\infty, a)$ で連続である.

$k\neq 0$ のとき, \begin{align*} \int_{-\infty}^ae^{kx}\,dx &= \lim_{t\to -\infty} \int_t^ae^{kx}\,dx = \lim_{t\to -\infty}\left[ \frac{e^{kx}}{k} \right]_t^a \\ &= \lim_{t\to -\infty}\left( \frac{e^{ka}}{k} - \frac{e^{kt}}{k} \right) \\ &= \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{ka}}{k}, & \mbox{$k>0$} \\ \infty, & \mbox{$k<0$}. \end{cases} \end{align*}

$k=0$ のとき, $$ \int_{-\infty}^ae^{kx}\,dx = \lim_{t\to -\infty} \int_a^t\,dx = \lim_{t\to -\infty} (a-t) = \infty. $$

最終更新日：2011年11月02日