[q201106230945]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle x\sin\frac{1}{x}, & \mbox{$x\neq 0$} \\ 0, & \mbox{$x=0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で連続だが微分可能ではないことを証明せよ.

Description: 連続だが微分可能ではない例.

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[q201106231000]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle x^2\sin\frac{1}{x}, & \mbox{$x\neq 0$} \\ 0, & \mbox{$x=0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であることを証明せよ.

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[q201106282230]  各々の整数 $n\geq 1$ について, $n$ 回連続微分可能であるが $n+1$ 回微分可能ではない例を挙げよ.

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[q201106271430]  $\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}$ とおくと, $\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110040700]  $x^x$ を $x$ について微分せよ. ただし, $x$ は正の実数とする.

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