解答例 1

$x=f(t)$ とおくと, $dx=f'(t)\,dt$ である. $g(x)$ は $f(x)$ の逆関数だから, $$ t=g(x),\quad a=g(f(a)),\quad b=g(f(b)). $$ よって, $x$ が $f(a)$ から $f(b)$ までを動くとき, $t$ は $a$ から $b$ までを動く. したがって, \begin{equation*} \begin{split} \int_{f(a)}^{f(b)}g(x)\,dx &= \int_a^btf'(t)\,dt \\ &= \bigl[tf(t)\bigr]_a^b-\int_a^bt'f(t)\,dt \\ &= bf(b)-af(a)-\int_a^bf(t)\,dt \\ &= bf(b)-af(a)- \int_a^bf(x)\,dx. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日