[q201106252345]  $a$, $b$ を実数とするとき, $$ \int_{a}^b (x-a)(x-b) \,dx = \frac{1}{6}(a-b)^3 $$ を証明せよ.

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[q201106260000]  $a$ を正の実数とするとき, 定積分 $\displaystyle \int_{0}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ を計算せよ.

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[q201106260015]  $n$ を正の整数とするとき, $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^nx \,dx $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106260030]  $f(x)$ を閉区間 $[0, 1]$ 上の連続関数とするとき, $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \,dx $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109070900]  $f(x)$ を $[0, 1]$ 上の連続関数とするとき, $$ \int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx $$ が成り立つことを証明せよ.

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