解答例 1

まず, $f(x)$ が定数関数である場合を考える. $c\in (a, b)$ を任意にとると, 任意の $x\in [a, b]$ に対して $f(x)=f(c)$ が成り立つから, $$ \int_a^bf(x)\,dx = \int_a^bf(c)\,dx = f(c)\int_a^bdx = (b-a)f(c). $$

次に, $f(x)$ が定数関数でない場合を考える. $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続だから, 最大値 $M$ と最小値 $m$ をとる. すなわち, 任意の $x\in [a, b]$ に対して, $$ m \leq f(x) \leq M. $$ $f(x)$ は定数関数でないから, 2つの不等式のそれぞれについて等号は恒等的には成立しない. したがって, $$ m(b-a) < \int_a^bf(x)\,dx < M(b-a). $$ $a<b$ と仮定したから, 各辺を $b-a$ で割ると, $$ m < \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx < M. $$ 中間値の定理により, ある $c\in (a, b)$ が存在して, $$ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx = f(c). $$ これより, 求める等式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日