解答例 1

$g(x)$ が恒等的に $0$ のときは明らかである. 以下, そうでないとする. そのとき, \begin{equation} \int_a^bg(x)\,dx>0 \tag{1} \end{equation} である.

$f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続だから, 最大値 $M$ と最小値 $m$ をとる. すなわち, 任意の $x\in [a, b]$ に対して, $$ m \leq f(x) \leq M. $$ $g(x)\geq 0$ であるから, $$ mg(x) \leq f(x)g(x)\leq Mg(x). $$ よって, $$ m\int_a^bg(x)\,dx\leq \int_a^bf(x)g(x)\,dx\leq M\int_a^bg(x)\,dx. $$ (1) より, 各辺を $\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx$ で割ると, $$ m\leq \frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}\leq M. $$ 1番目の不等式で等号が成立するとき, $m=f(c)$ を満たす $c\in [a, b]$ をとればよい. 2番目の不等式で等号が成立するとき, $M=f(c)$ を満たす $c\in [a, b]$ をとればよい. どちらでもないとき, 中間値の定理より, ある $c\in (a, b)$ が存在して, $$ \frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx} = f(c) $$ となる.

最終更新日：2011年11月02日