解答例 1

問題の仮定より, ある $c\in [a, b]$ が存在して, $f(c)>0$ となる. $f(x)$ の連続性より, ある $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in [a, b]$ に対して, \begin{align*} \lvert x-c\rvert <\delta & \Longrightarrow \lvert f(x)-f(c)\rvert < \frac{f(c)}{2} \\ & \Longrightarrow -\frac{f(c)}{2} < f(x)-f(c) \\ & \Longrightarrow \frac{f(c)}{2} < f(x). \end{align*} $d=\max\{a, c-\delta\}$, $e=\min\{c+\delta, b\}$ とおくと, $d<e$ かつ $[d, e]\subseteq [a, b]$ である. また, 任意の $x\in (d, e)$ に対して, $f(x)>f(c)/2$ である. $f$ の連続性から, \begin{align*} f(d) &= \lim_{x\to d+0}f(x) \geq \frac{f(c)}{2}, \\ f(e) &= \lim_{x\to e-0}f(x) \geq \frac{f(c)}{2}. \end{align*} ゆえに, 任意の $x\in [d, e]$ に対して, $f(x)\geq f(c)/2$ となる. したがって, $$ \int_d^ef(x)\,dx \geq \int_d^e\frac{f(c)}{2}\,dx = \frac{f(c)}{2}(e-d)>0. $$ 一方, 定積分の加法性より $$ \int_a^bf(x)\,dx = \int_a^df(x)\,dx + \int_d^ef(x)\,dx + \int_e^bf(x)\,dx $$ であり, $f(x)\geq 0$ ならば $$ \int_a^df(x)\,dx\geq 0,\quad \int_e^bf(x)\,dx \geq 0 $$ であるから, $$ \int_a^bf(x)\,dx \geq \int_d^ef(x)\,dx > 0. $$

最終更新日：2011年11月02日