負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int \log^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 1$ のとき, $$ I_n = x\log^nx-nI_{n-1} $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\log^0x=1$ である.
解答例 1
部分積分法を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} I_n &= \int 1\cdot\log^nx \,dx \\ &= \int x'\cdot\log^nx \,dx \\ &= x\log^nx - \int x\cdot n\log^{n-1}x\cdot\frac{1}{x} \,dx \\ &= x\log^nx-nI_{n-1}. \end{split} \end{equation*}
最終更新日：2011年11月02日