$a$ を $0$ でない実数とする. 負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int x^ne^{ax} \,dx $$ とおく. $n\geq 1$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{a}(x^ne^{ax}-nI_{n-1}) $$ が成り立つことを示せ.
解答例 1
部分積分法を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} I_n &= \int x^n\biggl( \frac{e^{ax}}{a} \biggr)' \,dx \\ &= x^n\cdot\frac{e^{ax}}{a} - \int nx^{n-1}\cdot\frac{e^{ax}}{a} \,dx \\ &= \frac{1}{a}(x^ne^{ax}-nI_{n-1}). \end{split} \end{equation*}
最終更新日：2011年11月02日