負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int \cos^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{n}\bigl(\sin x\cdot\cos^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}\bigr) $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\cos^0x=1$ である.
解答例 1
\begin{equation*} \begin{split} I_n &= \int \cos x\cdot\cos^{n-1}x \,dx \\ &= \int (\sin x)'\cdot\cos^{n-1}x\,dx \\ &= \sin x\cdot\cos^{n-1}x - \int \sin x\cdot (n-1)\cdot\cos^{n-2}x\cdot(-\sin x)\,dx \\ &= \sin x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)\int\sin^2 x\cdot\cos^{n-2}x\,dx \\ &= \sin x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)\int(1-\cos^2 x)\cdot\cos^{n-2}x\,dx \\ &= \sin x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n. \end{split} \end{equation*} ゆえに, $$ nI_n = \sin x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)I_{n-2}. $$ これより求める式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日