$a$ を $0$ でない実数とする. 正の整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int\frac{dx}{(x^2+a)^n} \,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{2(n-1)a} \biggl( \frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1} \biggr) $$ が成り立つことを示せ.
解答例 1
$n\geq 2$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}(x^2+a)^{-(n-1)} &= -(n-1)(x^2+a)^{-(n-1)-1}\cdot 2x \\ &= -2(n-1)x(x^2+a)^{-n} \end{split} \end{equation*} であるから, \begin{equation*} \begin{split} aI_n &= \int\frac{a}{(x^2+a)^n}\,dx = \int\frac{(x^2+a)-x^2}{(x^2+a)^n}\,dx \\ &= I_{n-1}-\int x\cdot\frac{x}{(x^2+a)^n} \,dx \\ &= I_{n-1}-\int x\cdot\biggl( -\frac{1}{2(n-1)}\cdot\frac{1}{(x^2+a)^{n-1}} \biggr)'\,dx \\ &= I_{n-1}+\frac{1}{2(n-1)}\cdot\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)}\int\frac{dx}{(x^2+a)^{n-1}} \\ &= I_{n-1}+\frac{1}{2(n-1)}\cdot\frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}-\frac{1}{2(n-1)}I_{n-1} \\ &= \frac{1}{2(n-1)}\biggl( \frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1} \biggr). \end{split} \end{equation*} これより求める式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日