解答例 1

任意の実数 $x>0$ に対して, $$ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} < e^x $$ であるから, $$ 0 < \frac{x^n}{e^x} < \frac{(n+1)!}{x}. $$ $x\to\infty$ のとき, 右辺は $0$ に収束するから, $x^n/e^x$ も $0$ に収束する.

解答例 2

ロピタルの定理を用いる. 分母, 分子を $n$ 回微分すると, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^x} = 0. $$

最終更新日：2011年11月02日