解答例 1

$p=1$ のとき, 各 $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ について, 三角不等式 $$ \lvert a_i+b_i\rvert \leq \lvert a_i\rvert + \lvert b_i\rvert $$ が成り立つ. 和をとれば, ($*$) が得られる.

$p>1$ のとき, \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\lvert a_i+b_i \rvert^p &\leq \sum_{i=1}^{n}(\lvert a_i\rvert + \lvert b_i\rvert)\cdot\lvert a_i+b_i \rvert^{p-1} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \lvert a_i\rvert\cdot\lvert a_i+b_i \rvert^{p-1} +\sum_{i=1}^{n} \lvert b_i\rvert\cdot\lvert a_i+b_i \rvert^{p-1}. \end{align*} $q=p/(p-1)$ とおくと, $1/p+1/q=1$ であるから, Hölder の不等式が適用できて, $$ \sum_{i=1}^{n} \lvert a_i\rvert\cdot\lvert a_i+b_i \rvert^{p-1} \leq \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert a_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i+b_i \rvert^p\right)^{\frac{1}{q}}. $$ 同様に, $$ \sum_{i=1}^{n} \lvert b_i\rvert\cdot\lvert a_i+b_i \rvert^{p-1} \leq \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert b_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i+b_i \rvert^p\right)^{\frac{1}{q}}. $$ ゆえに, $$ \sum_{i=1}^{n}\lvert a_i+b_i \rvert^p \leq \left(\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert a_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert b_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\right) \left(\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i+b_i \rvert^p\right)^{\frac{1}{q}}. $$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\lvert a_i+b_i \rvert^p\neq 0$ のとき, 両辺を $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i+b_i \rvert^p\right)^{\frac{1}{q}}$ で割れば ($*$) が得られる. $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\lvert a_i+b_i \rvert^p = 0$ のとき, ($*$) が明らかに成立する.

最終更新日：2011年11月02日