解答例 1

$a=0$ または $b=0$ のとき, ($*$$*$) は明らかに成り立つ. 以下, $a>0$ かつ $b>0$ のときを考える.

$\displaystyle f(x) = 1/p + x^q/q - x$ とおくと, $$ f(1) = 0, \quad f'(x) = x^{q-1}-1 \begin{cases} >0, & x>1 \\ <0, & 0\leq x < 1 \end{cases} $$ であるから, $[0, \infty)$ において $f(x)\geq 0$ である.

特に, $x=a^{1-p}b$ のとき, $f(a^{1-p}b)\geq 0$. ゆえに, $$ a^{1-p}b\leq \frac{1}{p} + \frac{a^{(1-p)q}b^{q}}{q}. $$ ($*$) の両辺に $pq$ を掛けて移項すると $(1-p)q = -p$ であるから, $$ a^{1-p}b\leq \frac{1}{p} + \frac{a^{-p}b^{q}}{q}. $$ 両辺に $a^p$ を掛けると, ($*$$*$) が得られる.

$a=0$ または $b=0$ のとき, ($*$$*$) において等号が成立するのは $a=b=0$ のとき, またそのときに限る.

$a>0$ かつ $b>0$ のとき, $[0, \infty)$ において $f(x)=0$ となるのは $x=1$ のみである. ゆえに, ($*$$*$) において等号が成立するための必要十分条件は, $a^{1-p}b=1$. すなわち, $b=a^{p-1}$.

まとめると, ($*$$*$) において等号が成立するための必要十分条件は $b=a^{p-1}$ が成り立つことである.

最終更新日：2011年11月02日