Description: 連続だが微分可能ではない例.
$\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle x\sin\frac{1}{x}, & \mbox{$x\neq 0$} \\ 0, & \mbox{$x=0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で連続だが微分可能ではないことを証明せよ.
解答例 1
$$ \lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x} = 0 = f(0). $$ ゆえに, $f(x)$ は $x=0$ で連続である. 一方, $$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}. $$ ところが, $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ は存在しない. したがって, $f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではない.
最終更新日：2011年11月02日