[q201109231100]  $(a_n)$ を収束する実数列, $(b_n)$ を有界な実数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} &= \lim_{n\to\infty}{a_n} + \limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} &= \lim_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n}. \\ \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109231200]  $(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} &\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ &\liminf_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq\liminf_{n\to\infty}{a_nb_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109231300]  $(a_n)$ を収束する実数列, $(b_n)$ を有界な実数列とし, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_n}\geq 0$ であるとする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} &= \lim_{n\to\infty}{a_n}\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{a_nb_n} &= \lim_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109231400]  $(a_n)$ を正の実数からなる有界な数列とする. このとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} &\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} &\geq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109280900]  $\mathbb{R}$ の閉区間の列 $([a_n, b_n])$ が, \begin{equation} [a_{n}, b_{n}]\supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]\quad (n=1, 2, \ldots) \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, 数列 $(a_n)$, $(b_n)$ はともに収束し, それらの極限値をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とすれば, $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = [\alpha, \beta] $$ が成り立つ. このことを証明せよ.

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