解答例 1

$x>0$ より, $\log x$ が定まり, $$ x^x=(e^{\log x})^x=e^{x\log x}. $$ 合成関数の微分法を用いて計算すれば, \begin{align*} (x^x)' &= (e^{x\log x})' = e^{x\log x}\cdot (x\log x)' \\ &= x^x\biggl(1\cdot\log x + x\cdot\frac{1}{x}\biggr) \\ &= x^x(\log x +1). \end{align*}

解答例 2

$f(x)=x^x$ とおく. $x>0$, $f(x)>0$ なので, $\log$ をとると $$ \log f(x) = \log x^x = x\log x. $$ $x$ について微分すると, $$ \frac{f'(x)}{f(x)} = 1\cdot\log x + x\cdot\frac{1}{x} = \log x + 1. $$ ゆえに, $$ f'(x) = f(x)\cdot (\log x + 1) = x^x(\log x + 1). $$

解答例 3

$f(y,z)=y^z$ ($y>0$) とおくと, $y$, $z$ についての偏微分は $$ f_y(y,z) = zy^{z-1},\quad f_z(y,z) = y^z\log y. $$ ここで, 前者は冪関数の微分であり, 後者は指数関数の微分である.

$y=x$, $z=x$ ($x>0$) とおき, 合成関数の偏微分に関する公式を用いると \begin{align*} (x^x)' &= \frac{df}{dx} = f_y(y,z)\frac{dy}{dx}+f_z(y,z)\frac{dz}{dx} \\ &= (zy^{z-1})\cdot 1+(y^z\log y)\cdot 1 \\ &= x\cdot x^{x-1}+x^x\log x \\ &= x^x(1+\log x). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日