$$ \newcommand\bm[1]{\boldsymbol{#1}} \renewcommand\limsup{\varlimsup} \renewcommand\liminf{\varliminf} $$

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle x^2\sin\frac{1}{x}, & \mbox{$x\neq 0$} \\ 0, & \mbox{$x=0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であることを証明せよ.

解答例 1

$$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0. $$ したがって, $f(x)$ は $x=0$ で微分可能である.

最終更新日:2011年11月02日

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