[q201102040900]  2つの正の整数 $a$, $b$ の最大公約数を $d$, 最小公倍数を $l$ とする. このとき, $$ ab = dl $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102041000]  $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数とし, \begin{align*} l_{2} &= \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2}),\quad l_{n}=\mathrm{lcm}(l_{n-1},\,a_{n})\quad (n=3, 4, \ldots), \\ l'_{n} &= \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})\quad (n=2, 3, \ldots) \end{align*} とおく. このとき, $$ l_{n} = l'_{n}\quad (n=2, 3, \ldots) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102041100]  $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を正の整数とし, 対ごとに素であるとする. このとき, \begin{equation} \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}) = a_{1}a_{2}\ldots a_{n} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201102041200]  $a$, $b$, $c$ を整数とし, $\gcd(a,\,b)=1$ であるとする. このとき, $$ a\mid c,\,b\mid c \Longrightarrow ab\mid c $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102050900]  $p$ を素数, $a$, $b$ を整数とする. このとき, $$ p\mid ab \Longrightarrow \mbox{$p\mid a$ または $p\mid b$} $$ が成り立つことを証明せよ.

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