[q201102021100]  $a$, $b$, $c$ を整数とし, $\gcd(a,\,b)=1$ であるとする. このとき, $$ a\mid bc \Longrightarrow a\mid c $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102021200]  $a$, $b$, $c$ を整数とするとき, $$ \gcd(a,\,b)=\gcd(a,\,c)=1 \Longleftrightarrow \gcd(a,\,bc)=1 $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102030900]  $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数とし, \begin{align*} d_{2} &= \gcd(a_{1},\,a_{2}),\quad d_{n}=\gcd(d_{n-1},\,a_{n})\quad (n=3, 4, \ldots), \\ d'_{n} &= \gcd(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})\quad (n=2, 3, \ldots) \end{align*} とおく. このとき, $$ d_{n} = d'_{n}\quad (n=2, 3, \ldots) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102031000]  $a$, $b$, $q$, $r$ を整数とし, $$ a=bq+r $$ を満たすとする. このとき, $$ \gcd(a,\,b) = \gcd(b,\,r) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201102031100]  $a$, $b$ を整数とし, $0<b<a$ であるとする. $$ r_{0} = a,\quad r_{1} = b $$ とおき, $n\geq 2$ に対して, $r_{n-1}>0$ である限り, $r_{n}$を $$ r_{n-2} = r_{n-1}q_{n-1}+r_{n},\quad 0\leq r_{n}<r_{n-1} $$ によって定義する. このとき, ある番号 $m$ が存在して, $$ r_{m} = 0,\quad r_{m-1}=\gcd(a,\,b) $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Euclid の互除法, ユークリッドの互除法

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