$a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数とし, \begin{align*} l_{2} &= \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2}),\quad l_{n}=\mathrm{lcm}(l_{n-1},\,a_{n})\quad (n=3, 4, \ldots), \\ l'_{n} &= \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})\quad (n=2, 3, \ldots) \end{align*} とおく. このとき, $$ l_{n} = l'_{n}\quad (n=2, 3, \ldots) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$n$ に関する数学的帰納法によって証明する.
$n=2$ のとき, $l_{2}=l'_{2}=\mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2})$であるから, 問題の主張は正しい.
$n=k$ のとき, 問題の主張が正しいと仮定すると, \begin{equation} l_{k+1}=\mathrm{lcm}(l_{k},\,a_{k+1}) = \mathrm{lcm}(l'_{k},\,a_{k+1}). \tag{1} \end{equation} $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{k}$ は $l'_{k+1}$ を割り切るから, $l'_{k}$ は $l'_{k+1}$ を割り切る. さらに, $a_{k+1}\mid l'_{k+1}$ より, $l_{k+1}\mid l'_{k+1}$. 逆に, (1) より $l'_{k}\mid l_{k+1}$ であるから, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{k}$ は $l_{k+1}$ を割り切る. さらに, $a_{k+1}\mid l_{k+1}$ より, $l'_{k+1}\mid l_{k+1}$. ゆえに, $l_{k+1}\mid l'_{k+1}$ かつ $l'_{k+1}\mid l_{k+1}$ であるから, $l_{k+1}=l'_{k+1}$. したがって, $n=k+1$ のときも問題の主張は正しい.
以上より, すべての $n$ に関して, 問題の主張は正しい.
最終更新日：2011年11月02日