$p$ を素数, $a$, $b$ を整数とする. このとき, $$ p\mid ab \Longrightarrow \mbox{$p\mid a$ または $p\mid b$} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$p$ は素数だから, 任意の正の整数 $n$ に対して, $$ p\nmid n \Longleftrightarrow \gcd(p, n) = 1 $$ が成り立つ. $$ \gcd(p,\,a)=\gcd(p,\,b)=1 \Longleftrightarrow \gcd(p,\,ab)=1 $$ だから, $$ \mbox{$p\nmid a$ かつ $p\nmid b$} \Longleftrightarrow p\nmid ab. $$ 対偶をとれば, $$ p\mid ab \Longleftrightarrow \mbox{$p\mid a$ または $p\mid b$}. $$
最終更新日：2011年11月02日