[q201110230800]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$ を $M$ の部分左 $R$ 加群, $(N_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda}\right):L = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N_{\lambda}:L) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110230900]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $$ N:\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N:L_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110071100]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $x\in M$ とする. このとき, $$ \mathrm{Ann}(x) = \{ r\in R\mid rx = 0 \} $$ は $R$ の左イデアルであることを証明せよ.

Keywords: 零化イデアル

Description: $x\in M$ に対して, $\mathrm{Ann}(x)$ を $x$ の零化イデアルという.

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[q201110071200]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $$ \mathrm{Ann}(M) = \{ r\in R\mid rx = 0\,(\forall x\in M) \} $$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.

Keywords: 零化イデアル

Description: $\mathrm{Ann}(M)$ を $M$ の零化イデアルという.

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[q201110071300]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $$ \mathrm{Ann}(M) = \bigcap_{x\in M}\mathrm{Ann}(x) $$ が成り立つことを証明せよ.

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