解答例 1

$n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$l_{n} = \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n})$ ($n=2$, $3$, $\ldots$) とおく.

$n=2$ のとき, 問題の仮定より $a_{1}$, $a_{2}$ は互いに素であるから, $\gcd(a_{1},\,a_{2})=1$. よって, $$ l_{2} = \mathrm{lcm}(a_{1},\,a_{2}) = \frac{a_{1}a_{2}}{\gcd(a_{1},\,a_{2})} = a_{1}a_{2}. $$

$n-1$ のとき ($*$) が成り立つと仮定する. すなわち, $$ l_{n-1}=a_{1}a_{2}\ldots a_{n-1}. $$ また, 問題の仮定より $$ \gcd(a_{1},\,a_{n}) = \gcd(a_{2},\,a_{n}) = \cdots = \gcd(a_{n-1},\,a_{n}) = 1 $$ であるから, $\gcd(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1},\,a_{n})=1$. ゆえに, \begin{align*} l_{n} &= \mathrm{lcm}(l_{n-1},\,a_{n}) \\ &= \mathrm{lcm}(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1},\,a_{n}) \\ &= \frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{\gcd(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1},\,a_{n})} \\ &= a_{1}a_{2}\cdots a_{n}. \end{align*} したがって, $n$ のときも ($*$) が成り立つ.

以上より, すべての $n$ について ($*$) の成り立つことが証明された.

最終更新日：2011年11月02日