解答例 1

$\alpha\geq 0$ のとき, $$ \limsup_{n\to\infty}{\alpha b_n} = \alpha\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n} $$ であるから, \begin{align} &\limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} - \alpha\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n} \notag \\ &= \limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} - \limsup_{n\to\infty}{\alpha b_n} \notag \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_nb_n} \right) - \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{\alpha b_n} \right) \notag \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_nb_n}-\sup_{n\geq N}{\alpha b_n}\right). \tag{1} \end{align} 一方, 各 $N=1$, $2$, $\ldots$ に対して, \begin{equation} \inf_{n\geq N}{(a_nb_n-\alpha b_n)} \leq \sup_{n\geq N}{a_nb_n}-\sup_{n\geq N}{\alpha b_n} \leq \sup_{n\geq N}{(a_nb_n-\alpha b_n)}. \tag{2} \end{equation} また, $(b_n)$ は有界だから, ある $M>0$ が存在して, $$ \lvert b_n\rvert \leq M\quad (n=1, 2, \ldots). $$ ゆえに, \begin{align*} \lvert a_nb_n - \alpha b_n\rvert &= \lvert \alpha_n-\alpha\rvert\lvert b_n\rvert \\ &\leq \lvert \alpha_n-\alpha\rvert\cdot M \to 0\quad(n\to\infty). \end{align*} したがって, $$ \limsup_{n\to\infty}{(a_nb_n-\alpha b_n)} = \liminf_{n\to\infty}{(a_nb_n-\alpha b_n)} = \lim_{n\to\infty}{(a_nb_n-\alpha b_n)} = 0. $$ (2) より, $$ \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_nb_n}-\sup_{n\geq N}{\alpha b_n}\right) = 0. $$ (1) より, ($*$) の1行目の等式が得られる. ($*$) の2行目の等式も同様にして証明できる.

最終更新日：2011年11月02日