[q201109221000]  $(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \sup{a_nb_n} &\leq \sup{a_n}\cdot\sup{b_n}, \\ \inf{a_nb_n} &\geq \inf{a_n}\cdot\inf{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109221100]  $(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. このとき, $$ \inf{a_nb_n} \leq \sup{a_n}\cdot\inf{b_n} \leq \sup{a_nb_n} $$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109221200]  $(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. また, $\inf{b_n}>0$ であるとする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \frac{\inf{a_n}}{\sup{b_n}} &\leq \inf{\frac{a_n}{b_n}}\leq\frac{\inf{a_n}}{\inf{b_n}}, \\ \frac{\sup{a_n}}{\sup{b_n}} &\leq \sup{\frac{a_n}{b_n}}\leq\frac{\sup{a_n}}{\inf{b_n}} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109230900]  $(a_n)$ を有界な実数列, $c$ を実数とする. $c\geq 0$ のとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\limsup_{n\to\infty}{a_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\liminf_{n\to\infty}{a_n} \end{align*} が成り立つ. また, $c\leq 0$ のとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\liminf_{n\to\infty}{a_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\limsup_{n\to\infty}{a_n} \end{align*} が成り立つ. このことを証明せよ.

---

[q201109231000]  $(a_n)$, $(b_n)$ を有界な実数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} & \limsup_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \limsup_{n\to\infty}{a_n} - \limsup_{n\to\infty}{b_n} \leq \limsup_{n\to\infty}{(a_n-b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}-\liminf_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \liminf_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq \liminf_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\liminf_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \liminf_{n\to\infty}{a_n} - \limsup_{n\to\infty}{b_n} \leq \liminf_{n\to\infty}{(a_n-b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}-\limsup_{n\to\infty}{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

---