$(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} &\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ &\liminf_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq\liminf_{n\to\infty}{a_nb_n} \leq\limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\liminf_{n\to\infty}{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
各 $N=1$, $2$, $\ldots$ に対して $$ \sup_{n\geq N}{a_nb_n} \leq \sup_{n\geq N}{a_n}\cdot\sup_{n\geq N}{b_n} $$ が成り立つことから, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{a_nb_n} &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_nb_n} \right) \\ &\leq \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_n}\cdot\sup_{n\geq N}{b_n} \right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_n}\right) \cdot \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{b_n} \right) \\ &= \limsup_{n\to\infty}{a_n}\cdot\limsup_{n\to\infty}{b_n}. \end{align*} よって, ($*$) の1行目後半の不等式が成り立つ. 他の不等式についても同様.
最終更新日：2011年11月02日