[q201107071800]  $z$ を複素数とするとき, 以下の不等式を証明せよ.

(i) $\mathop{\mathrm{Re}} z\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert$. 等号は $\mathop{\mathrm{Re}} z\geq 0$ のとき.

(ii) $\mathop{\mathrm{Im}} z\leq \lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert$. 等号は $\mathop{\mathrm{Im}} z\geq 0$ のとき.

(iii) $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が実数のとき.

(iv) $\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が $0$ または純虚数とき.

(v) $\mathop{\mathrm{Re}} z\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が負でない実数のとき.

(vi) $\mathop{\mathrm{Im}} z\leq \lvert z\rvert$. 等号は $z$ が $0$ であるか, または $\mathop{\mathrm{Im}} z>0$ なる純虚数のとき.

ここで, $\mathop{\mathrm{Re}} z$, $\mathop{\mathrm{Im}} z$ をそれぞれ $z$ の実部, 虚部とする.

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[q201107071815]  $z$, $w$ を複素数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert z+w\rvert\leq \lvert z\rvert+\lvert w\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

また, 等号成立条件は $\overline{z}w$ が負でない実数であることを証明せよ.

Keywords: 三角不等式

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[q201107071830]  $z$, $w$ を複素数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert z\rvert - \lvert w\rvert\leq \lvert z-w\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

また, 等号成立条件は $\overline{z}w$ が実数であって $\lvert w\rvert^2\leq\overline{z}w$ であることを証明せよ.

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[q201107071845]  $z$ を複素数とするとき, 以下の不等式を証明せよ.

(i) $\lvert z\rvert\leq \lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert$. 等号は $\mathop{\mathrm{Re}} z\cdot\mathop{\mathrm{Im}} z=0$ のとき.

(ii) $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert+\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert\leq\sqrt{2}\,\lvert z\rvert$. 等号は $\lvert \mathop{\mathrm{Re}} z\rvert=\lvert \mathop{\mathrm{Im}} z\rvert$ のとき.

ここで, $\mathop{\mathrm{Re}} z$, $\mathop{\mathrm{Im}} z$ をそれぞれ $z$ の実部, 虚部とする.

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[q201106211430]  $a$ を負でない実数とする. 任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, $a\leq\varepsilon$ が成り立つとする. このとき, $a=0$ であることを証明せよ.

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