[q201109281000]  $\mathbb{R}$ の閉区間の列 $([a_n, b_n])$ が, 次の条件を満たすとする. \begin{equation} \begin{split} & [a_{n}, b_{n}]\supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]\quad (n=1, 2, \ldots), \\ & \lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n}) = 0. \end{split} \tag{$*$} \end{equation} このとき, 各閉区間 $[a_n, b_n]$ に共通に含まれる実数 $\alpha$ がただ1つ存在し, $$ \alpha = \lim_{n\to\infty}{a_n} = \lim_{n\to\infty}{b_n} $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Cantor の区間縮小法の原理

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[q201107061330]  Landau の記号について説明せよ.

Keywords: Landau の記号, ランダウの記号, スモール・オー記号, ビッグ・オー記号

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[q201106221115]  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ は存在しないことを証明せよ.

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[q201106230715]  $\displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$ を証明せよ.

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[q201108190900]  $a$, $b$ を実数とし, $\lvert b\rvert < a$ を満たすとする. このとき, $$ \lim_{x\to\infty}(a^x+b^x)^{\frac{1}{x}} = a $$ が成り立つことを証明せよ.

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