$\mathbb{R}$ の閉区間の列 $([a_n, b_n])$ が, \begin{equation} [a_{n}, b_{n}]\supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]\quad (n=1, 2, \ldots) \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, 数列 $(a_n)$, $(b_n)$ はともに収束し, それらの極限値をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とすれば, $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = [\alpha, \beta] $$ が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
条件 ($*$) より, $(a_n)$ は単調増加数列であり, $$ a_n\leq b_1,\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であるから, 上に有界である. 上に有界な単調増加数列は収束するから, $(a_n)$ は極限値 $\alpha$ をもつ. 同様に, $(b_n)$ は下に有界な単調減少数列だから, 収束して極限値 $\beta$ をもつ.
$(a_n)$ は単調増加数列だから, $\alpha=\sup{a_n}$ である. 同様に, $(b_n)$ は単調減少数列だから, $\beta=\inf{b_n}$ である. よって, \begin{align*} a_n\leq \alpha,\quad (n=1, 2, \ldots), \\ \beta\leq b_n,\quad (n=1, 2, \ldots) \end{align*} となるから, $$ [\alpha, \beta]\subseteq [a_n, b_n] \quad (n=1, 2, \ldots). $$ したがって, \begin{equation} [\alpha, \beta]\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n]. \tag{1} \end{equation}
逆に, $\displaystyle x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n]$ とする. すなわち, $$ a_n \leq x\leq b_n\quad (n=1, 2, \ldots). $$ $x\leq\alpha$ であるとすると, $\alpha=\sup{a_n}$ であることより, 任意の $\varepsilon>0$ に対して, ある番号 $n(\varepsilon)$ が存在して, $$ \alpha - \varepsilon < a_{n(\varepsilon)} $$ となる. よって, $$ 0\leq \alpha - x\leq \alpha-a_{n(\varepsilon)} < \varepsilon. $$ $\varepsilon$ の任意性から, $\alpha-x=0$ となる. 同様に, $\beta\leq x$ であるとすると, $\beta=\inf{b_n}$ であることより, $x-\beta=0$ となる. よって, $x\in [\alpha, \beta]$. したがって, (1) の逆の包含関係も成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日