$(a_n)$ を収束する実数列, $(b_n)$ を有界な実数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} &= \lim_{n\to\infty}{a_n} + \limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} &= \lim_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n}. \\ \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$$ \liminf_{n\to\infty}{a_n} + \limsup_{n\to\infty}{b_n} \leq \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\limsup_{n\to\infty}{b_n} $$ および $$ \limsup_{n\to\infty}{a_n} = \liminf_{n\to\infty}{a_n} = \lim_{n\to\infty}{a_n} $$ より, ($*$) の1行目の等式が得られる. 2行目の等式についても同様.
最終更新日：2011年11月02日