[q201108221300]  $n$ を正の整数, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ を実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \left( \sum_{k=1}^na_kb_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^na_k^2 \right)\left( \sum_{k=1}^nb_k^2 \right) \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Cauchy-Schwarz の不等式, コーシー・シュワルツの不等式

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[q201108221400]  $n$ を正の整数, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ を実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201108210900]  $n$ を正の整数, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ を負でない実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \leq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 相加相乗平均の関係

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[q201108210930]  $n$ を正の整数, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ を正の実数とするとき, 不等式 $$ \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{n}\biggl(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} \biggr)} \leq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108211000]  $n$ を正の整数, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ を正の実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \frac{n^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\leq \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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