解答例 1

$\alpha=\sup a_n$, $\beta=\sup b_n$, $\gamma=\inf a_n$, $\delta=\inf b_n$ とし, $S = \{a_nb_n\mid n=1, 2, \ldots \}$ とおく. $$ 0 \leq a_n\leq \alpha,\quad 0\leq b_n\leq\beta\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であるから, $$ a_nb_n\leq\alpha\beta \quad (n=1, 2, \ldots). $$ よって, $\alpha\beta$ は $S$ の上界である. ゆえに, $$ \sup{a_nb_n}\leq\alpha\beta. $$ したがって, ($*$) の1番目の不等式が成り立つ.

また, $a_n\geq 0$, $b_n\geq 0$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) より $\inf a_n\geq 0$, $\inf b_n\geq 0$ であるから, $$ 0\leq\gamma\leq a_n,\quad 0\leq \delta\leq b_n. \quad (n=1, 2, \ldots) $$ したがって, $$ \gamma\delta\leq a_nb_n \quad (n=1, 2, \ldots). $$ よって, $\gamma\delta$ は $S$ の下界である. ゆえに, $$ \gamma\delta\leq\inf{a_nb_n}. $$ したがって, ($*$) の2番目の不等式が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日