$(a_n)$ を有界な実数列, $c$ を実数とする. $c\geq 0$ のとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\limsup_{n\to\infty}{a_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\liminf_{n\to\infty}{a_n} \end{align*} が成り立つ. また, $c\leq 0$ のとき, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\liminf_{n\to\infty}{a_n}, \\ \liminf_{n\to\infty}{ca_n} &= c\cdot\limsup_{n\to\infty}{a_n} \end{align*} が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
$c\geq 0$ のとき, 各 $N=1$, $2$, $\ldots$ に対して $$ \sup_{n\geq N}{ca_n} = c\cdot\sup_{n\geq N}{a_n} $$ が成り立つことから, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{ca_n} &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{ca_n} \right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(c\cdot\sup_{n\geq N}{a_n} \right) \\ &= c\cdot\lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_n}\right) \\ &= c\cdot\limsup_{n\to\infty}{a_n}. \end{align*} 他の等式についても同様である.
最終更新日：2011年11月02日