$(a_n)$, $(b_n)$ を有界な実数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} & \limsup_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\limsup_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \limsup_{n\to\infty}{a_n} - \limsup_{n\to\infty}{b_n} \leq \limsup_{n\to\infty}{(a_n-b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}-\liminf_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \liminf_{n\to\infty}{a_n} + \liminf_{n\to\infty}{b_n} \leq \liminf_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\liminf_{n\to\infty}{b_n}, \\ & \liminf_{n\to\infty}{a_n} - \limsup_{n\to\infty}{b_n} \leq \liminf_{n\to\infty}{(a_n-b_n)} \leq \limsup_{n\to\infty}{a_n}-\limsup_{n\to\infty}{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
各 $N=1$, $2$, $\ldots$ に対して $$ \sup_{n\geq N}{(a_n+b_n)} \leq\sup_{n\geq N}{a_n}+\sup_{n\geq N}{b_n} $$ が成り立つことから, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}{(a_n+b_n)} &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{(a_n+b_n)} \right) \\ &\leq \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_n}+\sup_{n\geq N}{b_n} \right) \\ &= \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{a_n}\right) + \lim_{N\to\infty}\left(\sup_{n\geq N}{b_n} \right) \\ &= \limsup_{n\to\infty}{a_n}+\limsup_{n\to\infty}{b_n}. \end{align*} したがって, ($*$) の1行目後半の不等式が成り立つ. 他の不等式についても同様である.
最終更新日：2011年11月02日