$(a_n)$, $(b_n)$ を負でない実数からなる有界な数列とする. また, $\inf{b_n}>0$ であるとする. このとき, \begin{equation} \begin{split} \frac{\inf{a_n}}{\sup{b_n}} &\leq \inf{\frac{a_n}{b_n}}\leq\frac{\inf{a_n}}{\inf{b_n}}, \\ \frac{\sup{a_n}}{\sup{b_n}} &\leq \sup{\frac{a_n}{b_n}}\leq\frac{\sup{a_n}}{\inf{b_n}} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
まず, $\inf{b_n}>0$ より, 全ての番号 $n$ に対して $b_n>0$ が成り立つ. なぜなら, もし $b_{n_0}=0$ となる番号 $n_0$ が存在すれば, $\inf{b_n} = \min\{b_n\mid n=1, 2, \ldots \} = 0$ となるからである.
$c_n=a_n/b_n$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) とおくと, $$ \inf{b_nc_n}\leq \sup{b_n}\cdot\inf{c_n}. $$ すなわち, $$ \inf{a_n} \leq \sup{b_n}\cdot\inf{\frac{a_n}{b_n}}. $$ $\sup{b_n}\geq \inf{b_n}>0$ より, 両辺を $\sup{b_n}$ で割ると, $$ \frac{\inf{a_n}}{\sup{b_n}} \leq \inf{\frac{a_n}{b_n}}. $$ また, $$ \inf{b_n}\cdot\inf{c_n}\leq \inf{b_nc_n}. $$ すなわち, $$ \inf{b_n}\cdot\inf{\frac{a_n}{b_n}}\leq \inf{a_n}. $$ $\inf{b_n}>0$ より, 両辺を $\inf{b_n}$ で割ると, $$ \inf{\frac{a_n}{b_n}}\leq\frac{\inf{a_n}}{\inf{b_n}}. $$ したがって, ($*$) の1行目の不等式が成り立つ.
($*$) の2行目の不等式も同様にして証明できる.
最終更新日：2011年11月02日