$A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合とし, $$ A-B = \{ x-y \mid x\in A,\,y\in B \} $$ とおく. このとき, \begin{align*} \sup(A-B) &= \sup A - \inf B, \\ \inf(A-B) &= \inf A - \sup B \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$-B=\{-y\mid y\in B\}$ とすると, $A-B=A+(-B)$ である. よって, \begin{align*} \sup(A-B) &= \sup{\bigl(A+(-B)\bigr)} \\ &= \sup{A} + \sup{(-B)} \\ &= \sup{A} - \inf{B}. \end{align*} $\inf$ についても同様.
最終更新日：2011年11月02日