$A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合とし, $$ A+B = \{ x+y \mid x\in A,\,y\in B \} $$ とおく. このとき, \begin{align*} \sup{(A+B)} &= \sup{A} + \sup{B}, \\ \inf{(A+B)} &= \inf{A} + \inf{B} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\alpha = \sup A$, $\beta=\sup B$ とおく. \begin{align*} x\in A,\, y\in B &\Longrightarrow x\leq\alpha,\,y\leq\beta \\ &\Longrightarrow x+y\leq \alpha+\beta \end{align*} より, \begin{equation} \sup{(A+B)} \leq \alpha + \beta. \tag{1} \end{equation}
$\varepsilon>0$ を任意にとる. $\sup$ の性質より, ある $x\in A$ が存在して, $$ \alpha - \frac{\varepsilon}{2} < x. $$ 同様に, $y\in B$ が存在して, $$ \beta - \frac{\varepsilon}{2} < y. $$ ゆえに, $$ (\alpha+\beta) - \varepsilon < x+y. $$ $x+y\in A+B$ より $x+y\leq\sup{(A+B)}$ であるから, $$ (\alpha+\beta) - \varepsilon\leq\sup{(A+B)}. $$ これと (1) より, $$ 0\leq (\alpha+\beta) - \sup{(A+B)} < \varepsilon. $$ $\varepsilon$ は任意だったから, $$ (\alpha+\beta) - \sup{(A+B)} = 0. $$ すなわち, $\sup{(A+B)} = \sup{A} + \sup{B}$.
$\inf$ についても同様にして示せる.
最終更新日：2011年11月02日