解答例 1

$\alpha = \sup A$, $\beta=\sup B$, $\gamma = \sup(A\cup B)$, $\delta = \max\{\sup A,\,\sup B\}$ とおく. \begin{align*} x\in A\cup B &\Longrightarrow \mbox{$x\in A$ または $x\in B$} \\ &\Longrightarrow \mbox{$x\leq\alpha$ または $y\leq\beta$} \\ &\Longrightarrow x\leq \delta \end{align*} より, \begin{equation} \gamma \leq \delta. \tag{1} \end{equation}

$\varepsilon>0$ を任意にとる. $\sup$ の性質より, ある $x\in A$ が存在して, $$ \alpha - \varepsilon < x. $$ 同様に, $y\in B$ が存在して, $$ \beta - \varepsilon < y. $$ $z=\max{x,\,y}$ とおくと, $$ \alpha - \varepsilon < z, \quad \beta - \varepsilon < z. $$ $\delta = \alpha$ または $\delta = \beta$ であるから, $$ \delta-\varepsilon < z. $$ $z\in A\cup B$ より $z\leq\gamma$ であるから, $$ \delta - \varepsilon < \gamma. $$ これと (1) より, $$ 0\leq \delta - \gamma < \varepsilon. $$ $\varepsilon$ は任意だったから, $\delta-\gamma=0$. すなわち, $\gamma=\delta$.

$\inf$ についても同様にして示せる.

最終更新日：2011年11月02日