解答例 1

$\alpha = \sup{a_n}$, $\beta=\sup{b_n}$ とおく. $$ a_n\leq \alpha,\quad b_n\leq\beta\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であるから, $$ a_n+b_n\leq\alpha+\beta \quad (n=1, 2, \ldots). $$ よって, $\alpha+\beta$ は $\mathbb{R}$ の部分集合 $\{a_n+b_n\mid n=1, 2, \ldots \}$ の上界である. ゆえに, $$ \sup{(a_n+b_n)} \leq \alpha+\beta. $$ したがって, \begin{equation} \sup{(a_n+b_n)} \leq \sup{a_n}+\sup{b_n}. \tag{1} \end{equation} また, $a'_n = a_n + b_n$, $b'_n = -b_n$ とおくと, (1) より, \begin{align*} \sup{a_n} &= \sup{(a'_n + b'_n)} \\ &\leq \sup{a'_n} + \sup{b'_n} \\ &= \sup{(a_n+b_n)} + \sup{(-b_n)} \\ &= \sup{(a_n+b_n)} - \inf{b_n}. \end{align*} ゆえに, $$ \sup{a_n}+\inf{b_n} \leq \sup{(a_n+b_n)}. $$ したがって, ($*$) の1行目の不等式が得られる.

($*$) の1行目の不等式において, $b_n$ に $-b_n$ を代入すれば, ($*$) の2行目の不等式が得られる.

($*$) の1行目の不等式において, $a_n$, $b_n$ に $-b_n$, $-a_n$ を代入すれば, ($*$) の3行目の不等式が得られる.

($*$) の3行目の不等式において, $b_n$ に $-b_n$ を代入すれば, ($*$) の4行目の不等式が得られる.

最終更新日：2011年11月02日